Μαθηματικά

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΙΑ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Διαδικτυακό συμπλήρωμα της 3ης έκδοσης (Σεπτέμβριος 2022)

Η τρίτη έκδοση αυτού του βιβλίου έλαβε την οριστική της μορφή τον Ιούνιο του 2021. Θα ήθελα να σημειώσω ότι η συμβολή του Βασίλη Δουγαλή, ο οποίος έφυγε από τη ζωή την 1–1–2022, υπήρξε καθοριστική και στη φάση αυτή, όπως άλλωστε και σε όλες τις προηγούμενες φάσεις της συγγραφής του βιβλίου. Στην τρίτη έκδοση προσθέσαμε δύο παραγράφους στο Κεφάλαιο 3 (τώρα παράγραφοι 3.4 και 3.5) για μια συστηματική μελέτη της τάξης ακρίβειας μεθόδων Runge–Kutta με χρήση ριζωμένων δέντρων καθώς και ορισμένες σχετικές ασκήσεις.

Με το παρόν συμπλήρωμα, που μπορείτε να κατεβάσετε από ΕΔΩ, τίθεται το νέο υλικό στη διάθεση διδασκόντων, φοιτητών και κάθε ενδιαφερομένου έως ότου κυκλοφορήσει η τρίτη έκδοση· αυτό ενδέχεται να καθυστερήσει κάπως γιατί υπάρχει ακόμη αποθεματικό από τη δεύτερη έκδοση του βιβλίου. Για να διευκολύνουμε τους χρήστες, συμπεριλάβαμε και τις ασκήσεις του τρίτου κεφαλαίου. Παρουσιάζουμε την αρίθμηση των σχέσεων, των ασκήσεων, και των σελίδων της μελλοντικής τρίτης έκδοσης.

Σεπτέμβριος 2022, Γ. Ακρίβης

Έντυπο 25,00 17,50 Προσθήκη στο καλάθι

Προβλήματα αρχικών ή συνοριακών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις μόνο σε σπάνιες περιπτώσεις μπορούν να λυθούν αναλυτικά. Γι’ αυτό καταφεύγουμε στην προσέγγιση των λύσεων με αριθμητικές μεθόδους, που είναι και το θέμα του βιβλίου αυτού. Δεδομένου ότι προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις εμφανίζονται σε πολλές εφαρμογές στις επιστήμες και την τεχνολογία, το βιβλίο θα είναι χρήσιμο τόσο σε μαθηματικούς όσο και σε επιστήμονες που χρησιμοποιούν Μαθηματικά. Το βιβλίο αποτελεί μετεξέλιξη σημειώσεων που οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν στα μαθήματά τους τα τελευταία τριάντα χρόνια στα πανεπιστήμια Αθηνών, Ιωαννίνων, Κρήτης, Κύπρου, Tennessee, και στο Ε.Μ.Π. Απευθύνεται κυρίως σε φοιτητές τμημάτων Μαθηματικών, Σχολών Θετικών Επιστημών και Πολυτεχνείων. Τα πρώτα πέντε κεφάλαιά του αναφέρονται σε προβλήματα αρχικών τιμών· συγκεκριμένα, αφορούν μια συνοπτική εισαγωγή στη θεωρία του προβλήματος, τη μέθοδο του Euler, τις μεθόδους των Runge-Kutta, τις πολυβηματικές μεθόδους και τις μεθόδους του Galerkin. Στα τελευταία τρία κεφάλαια μελετώνται μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων, καθώς και μέθοδοι σκόπευσης και συνεγγισμού για το πρόβλημα συνοριακών τιμών δύο σημείων.

ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ

Ο Γεώργιος Ακρίβης είναι ομότιμος καθηγητής στο Τμήμα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΔΟΥΓΑΛΗΣ

Ο Βασίλειος Δουγαλής (1949–2022) ήταν μαθηματικός και καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Αρχικά σπούδασε πολιτικός μηχανικός στο Princeton και συνέχισε τις μεταπτυχιακές και διδακτορικές του σπουδές στο Πανεπιστήμιο του Harvard. Δίδαξε μαθηματικά στο εξωτερικό καθώς και στο Πανεπιστήμιο Κρήτης και στο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, στο οποίο και ανακηρύχθηκε ομότιμος καθηγητής. Διετέλεσε διευθυντής του Ινστιτούτου Υπολογιστικών Μαθηματικών στο Ίδρυμα Τεχνολογίας και Έρευνας.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1. Προβλήματα αρχικών τιμών
1.1 Ύπαρξη και μοναδικότητα
1.2 Ευστάθεια
1.3 Συστήματα Σ.Δ.Ε.

2. Η μέθοδος του Euler
2.1 Ακρίβεια της μεθόδου του Euler
2.2 Ευστάθεια της μεθόδου του Euler
2.3 Απόλυτη ευστάθεια. Άκαμπτα συστήματα
2.4 Μερικές απλές γενικεύσεις της μεθόδου του Euler
2.4.1 Πεπλεγμένη μέθοδος του Euler
2.4.2 Μέθοδοι υψηλότερης τάξης ακρίβειας
2.5 Εκ των υστέρων εκτιμήσεις του σφάλματος
2.5.1 Η μέθοδος του Euler
2.5.2 Η πεπλεγμένη μέθοδος του Euler

3. Μέθοδοι των Runge–Kutta
3.1 Προκαταρκτικά: Συμβολισμός και παραδείγματα
3.2 Επιλυσιμότητα και ευστάθεια μεθόδων RK
3.2.1 Επιλυσιμότητα
3.2.2 Ευστάθεια
3.3 Τάξη ακρίβειας και σύγκλιση μεθόδων RK
3.4 Ικανές συνθήκες για την τάξη ακρίβειας μεθόδων RK
3.5 Μέθοδοι συνεγγισμού
3.6 Εκτίμηση του τοπικού σφάλματος. Αυτόματη μεταβολή βήματος
3.7 Απόλυτη ευστάθεια μεθόδων RK
3.7.1 Απόλυτη ευστάθεια και ρητές προσεγγίσεις του εκθετικού
3.7.2 Άκαμπτα μη γραμμικά προβλήματα – B-ευστάθεια
3.8 Συμπληρωματικές παρατηρήσεις
3.8.1 Συνεχείς προσεγγίσεις Runge–Kutta
3.8.2 Μέθοδοι του τύπου του Rosenbrock

4. Πολυβηματικές μέθοδοι
4.1 Προκαταρκτικά: Συμβολισμός και παραδείγματα
4.2 Γραμμικές εξισώσεις διαφορών
4.3 Ευστάθεια πολυβηματικών μεθόδων
4.4 Τάξη ακρίβειας, συνέπεια και σύγκλιση πολυβηματικών μεθόδων
4.5 Πρακτική εφαρμογή πολυβηματικών μεθόδων
4.6 Απόλυτη ευστάθεια πολυβηματικών μεθόδων
4.6.1 Απόλυτη ευστάθεια
4.6.2 G-ευστάθεια

5. Μέθοδοι του τύπου Galerkin για προβλήματα αρχικών τιμών
5.1 Γενικά για μεθόδους του Galerkin
5.1.1 Η συνεχής μέθοδος του Galerkin
5.1.2 Η ασυνεχής μέθοδος του Galerkin
5.2 Η ασυνεχής μέθοδος του Galerkin
5.2.1 Προκαταρκτικά
5.2.2 Συνέπεια
5.2.3 Ευστάθεια
5.2.4 Σύγκλιση
5.2.5 Υπερσύγκλιση
5.2.6 Ύπαρξη και μοναδικότητα
5.3 Η συνεχής μέθοδος του Galerkin
5.3.1 Προκαταρκτικά
5.3.2 Συνέπεια
5.3.3 Ευστάθεια
5.3.4 Σύγκλιση
5.3.5 Υπερσύγκλιση
5.3.6 Ύπαρξη και μοναδικότητα

6. Εισαγωγή στο πρόβλημα δύο σημείων. Μέθοδοι διαφορών
6.1 Η θεωρία του προβλήματος
6.2 Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών
6.2.1 Συνοριακές συνθήκες Dirichlet
6.2.2 Άλλες συνοριακές συνθήκες

7. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων
7.1 Το βασικό πρόβλημα
7.1.1 Ομογενείς συνθήκες Dirichlet. Προσέγγιση με συνεχείς, κατά τμήματα γραμμικές
συναρτήσεις
7.1.2 Συνοριακές συνθήκες Neumann
7.1.3 Προσέγγιση με κατά τμήματα πολυωνυμικές συναρτήσεις υψηλοτέρου βαθμού
7.2 Πρακτική εφαρμογή της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων
7.3 Εκ των υστέρων εκτιμήσεις του σφάλματος
7.4 Ένα μη ορισμένο πρόβλημα

8. Μέθοδοι σκόπευσης και συνεγγισμού
8.1 Μέθοδοι σκόπευσης
8.2 Μέθοδοι συνεγγισμού

 

ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

  • ISBN εντύπου
    978-960-524-230-5
  • Κωδικός στον Εύδοξο
    59366690
  • A' έκδοση
    2006
  • Τρέχουσα έκδοση
    10/2018
  • Τεχνικά χαρακτηριστικά
    464 17 24
  • Τιμή καταλόγου
    25,00