Καρπός μιας μακράς ενασχόλησης του συγγραφέα με το πρόβλημα της ακριβούς επιλυσιμότητας των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές –και ειδικότερα της εξισώσεως Schrodinger– τούτο το βιβλίο αποσκοπεί στη συστηματική αναζήτηση και καταγραφή όλων των επιλύσιμων δυναμικών –χρονανεξάρτητων ή χρονεξαρτημένων– που είναι σήμερα γνωστά.
Το βιβλίο απευθύνεται σε προχωρημένους προπτυχιακούς ή μεταπτυχιακούς φοιτητές –με κλίση προς τη θεωρητική φυσική– καθώς και σε πανεπιστημιακούς δασκάλους με εκπαιδευτικό ή ερευνητικό ενδιαφέρον για το θέμα.
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ
Ακολουθούν σύνδεσμοι σε αρχεία που συμπληρώνουν και επεκτείνουν την ύλη του βιβλίου σε διάφορες κατευθύνσεις. Δεδομένου ότι το Συμπλήρωμα βρίσκεται σε εξέλιξη, καλείται ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης να το επισκέπτεται κατά τακτά διαστήματα, ώστε να είναι ενήμερος για τις προσθήκες που έχουν γίνει εν τω μεταξύ.
1-1. Προβλήματα Κεφαλαίου 1
1-2. Προβλήματα Κεφαλαίου 2
- Μαθηματικά Συμπληρώματα
2-1. Μαθηματικό Συμπλήρωμα Ι: Μετασχηματισμοί που διατηρούν τη μορφή μιας διαφορικής εξίσωσης.
2-2. Μαθηματικό Συμπλήρωμα ΙΙ: Διβάθμιες εξισώσεις και ακριβής επιλυσιμότητα. Γενική συζήτηση και βιβλιογραφικές αναφορές.
2-3. Μαθηματικό Συμπλήρωμα ΙΙΙ: Η συνάρτηση Γάμμα.
2-4. Μαθηματικό Συμπλήρωμα ΙV: Περιοδικά δυναμικά: Το Θεώρημα Floquet-Bloch.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
ΜΕΡΟΣ Α
ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ
ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ Ι
ΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ DARBOUX ΚΑΙ LIOUVILLE
1. Μετασχηματισμοί σε δευτεροτάξιες γραμμικές εξισώσεις: Η κανονική μορφή
2. Η εξίσωση Schrodinger: Από ένα επιλύσιμο δυναμικό σε ένα άλλο: Ο μετασχηματισμός Darboux
3. Υπερδιαπερατά δυναμικά: Η απλούστερη δυνατή εφαρμογή του μετασχηματισμού Darboux
4. Ιδιόμορφα δυναμικά: Μια δεύτερη στοιχειώδης εφαρμογή του μετασχηματισμού Darboux
5. Τα «αρχικά» επιλύσιμα δυναμικά. Ο μετασχηματισμός Liouville
6. Σύνοψη των αποτελεσμάτων: Τα κλασικά επιλύσιμα δυναμικά
ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΑΚΡΙΒΟΥΣ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑΣ
ΔΙΒΑΘΜΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΤΡΙΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
1. Η έννοια του βαθμού: Διβάθμιες και μονοβάθμιες εξισώσεις
2. Το πρώτο βασικό θεώρημα των διβάθμιων εξισώσεων: Συνθήκες ύπαρξης πολυωνυμικών λύσεων
3. Ασυμπτωτικές συμπεριφορές και ιδιόμορφα σημεία: Τα τρία είδη διβάθμιων εξισώσεων δευτέρας τάξεως
4. Το δεύτερο βασικό θεώρημα των διβάθμιων εξισώσεων. Οι διβάθμιες εξισώσεις βήματος ένα και οι υπεργεωμετρικές συναρτήσεις
5. Ταχεία επίλυση των διβάθμιων εξισώσεων: Η μέθοδος της ασυμπτωτικής σύγκρισης
6. Οι συναφείς τριβάθμιες εξισώσεις
7. Παραδείγματα συναφών τριβάθμιων εξισώσεων
8. Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων Schrodinger
9. Η αρχή της ανάμιξης
10. Και μια στοιχειώδης μέθοδος αναζήτησης των κλασικών επιλύσιμων δυναμικών
ΧΡΟΝΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΙΙ
ΦΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ DARBOUX
1. Εισαγωγή: Ο μετασχηματισμός Darboux ως εργαλείο φασματικών «παρεμβάσεων» στην εξίσωση Schrodinger
2. Οι φασματικές «δυνατότητες» του μετασχηματισμού Darboux: Η περίπτωση του απλού μετασχηματισμού
3. Η περίπτωση του διπλού εκφυλισμένου μετασχηματισμού
4. Αντιπροσωπευτικά παραδείγματα
ΜΕΡΟΣ Β
ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ
ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ Ι
ΒΑΣΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1. Εισαγωγή: Η χρονεξαρτημένη εξίσωση Schrodinger
2. Ο χρονεξαρτημένος μετασχηματισμός Darboux: Το βασικό αποτέλεσμα και ο τρόπος χρήσης του
3. Και μια στοιχειώδης εφαρμογή: Κατασκευή ενός ακριβώς επιλύσιμου χρονοπεριοδικού δυναμικού
4. Και ένα παρεμπίπτον αποτέλεσμα: Η χρονική εξέλιξη των «συμπιεσμένων» ιδιοκαταστάσεων του αρμονικού ταλαντωτή σε κλειστή μορφή
5. Απόδειξη του χρονεξαρτημένου μετασχηματισμού Darboux
6. Μελέτη της γενικής περιπτώσεως φ = 1/2ax2+βx+γ
7. Το πρόβλημα των αρχικών τιμών
ΧΡΟΝΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΠΙΛΥΣΙΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΙΙ
ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ
1. Εισαγωγή
2. Ακριβής λύση του εξαναγκασμένου κβαντικού ταλαντωτή
2.1. Η λύση
2.2. …και το φυσικό της περιεχόμενο
3. Μερική ανασκόπηση – τυπολόγιο
4. Ακριβής λύση της κβαντικής κίνησης σε ομογενές χρονομεταβαλλόμενο πεδίο δυνάμεων
5. Ακριβής λύση του κβαντικού παραμετρικού ταλαντωτή. Ειδικοί «παλμοί»
5.1. Προκαταρκτικά: Ποιο είναι το πρόβλημα
5.2. Ο κλασικός παραμετρικός ταλαντωτής: Μια κλασική …εξίσωση Schrodinger
5.3. Ο κβαντικός παραμετρικός ταλαντωτής: Ένας «άεργος παλμός» που αφήνει «ίχνη»
6. Επεκτάσεις
7. Παραλειπόμενα
