PRESSLEY ANDREW

ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μετάφραση: Πλατής Ιωάννης

Οι καμπύλες και οι επιφάνειες είναι μαθηματικά αντικείμενα που συναντούμε καθημερινά και για τα οποία τίθενται πολλά φυσιολογικά και εύλογα ερωτήματα. Η ακριβής μαθηματική διατύπωση τέτοιων ερωτημάτων και η απάντησή τους είναι το αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας. Η διαφορική γεωμετρία είναι ένας κλάδος που περιέχει κάποια από τα ωραιότερα και εμβριθέστερα αποτελέσματα των μαθηματικών, εν τούτοις πολλά από τα αποτελέσματα αυτά είναι προσβάσιμα από προπτυχιακούς φοιτητές ενός κάπως υψηλότερου επιπέδου.

Η Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία παρουσιάζει τα κύρια αποτελέσματα της διαφορικής γεωμετρίας των καμπυλών και των επιφανειών, προσεγγίζοντας το αντικείμενο με τον πλέον απλό και άμεσο τρόπο. Τα προαπαιτούμενα είναι απολύτως ελάχιστα – στοιχειώδεις γνώσεις γραμμικής άλγεβρας και λογισμού πολλών μεταβλητών. Το περιεχόμενο του βιβλίου προσφέρεται για μια εισαγωγή στο αντικείμενο της διαφορικής γεωμετρίας και για ένα εξαμηνιαίο μάθημα.  Η έκδοση περιέχει μεγάλο αριθμό σχημάτων που εικονογραφούν τόσο τις ιδέες του κειμένου όσο και τα παραδείγματα των καμπυλών και των επιφανειών που παρουσιάζονται. Επιπρόσθετα, υπάρχει ένα πλήθος ασκήσεων των οποίων οι πλήρεις λύσεις περιέχονται στο τέλος του βιβλίου.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1 Καμπύλες στο επίπεδο και στο χώρο
1.1 Τι είναι μία καμπύλη;
1.2 Μήκος τόξου
1.3 Αναπαραμέτριση
1.4 Κλειστές καμπύλες
1.5 Καμπύλες στάθμης – Παραμετρισμένες καμπύλες

2 Πόσο καμπυλώνει μία καμπύλη;
2.1 Καμπυλότητα
2.2 Επίπεδες καμπύλες
2.3 Καμπύλες του χώρου

3 Ολομερείς ιδιότητες των καμπυλών
3.1 Απλές κλειστές καμπύλες
3.2 Ισοπεριμετρική ανισότητα
3.3 Το θεώρημα των τεσσάρων κορυφών

4 Επιφάνειες στις τρεις διαστάσεις
4.1 Τι είναι μία επιφάνεια;
4.2 Λείες επιφάνειες
4.3 Λείες απεικονίσεις
4.4 Εφαπτόμενες και παράγωγο ι
4.5 Κάθετες και προσανατολισιμότητα

5 Παραδείγματα επιφανειών
5.1 Επιφάνειες στάθμης
5.2 Τετραγωνικές επιφάνειες
5.3 Ευθειογενείς επιφάνειεςκαι επιφάνειες εκ περιστροφής
5.4 Συμπαγείς επιφάνειες
5.5 Τριπλά ορθογώνια συστήματα
5.6 Εφαρμογές του θεωρήματος της αντίστροφης απεικόνισης

6 Η πρώτη θεμελιώδης μορφή
6.1 Μήκη επιφανειακών καμπυλών
6.2 Ισομετρίες επιφανειών
6.3 Σύμμορφες απεικονίσεις επιφανειών
6.4 Ισεμβαδικές απεικονίσεις
6.5 Σφαιρική γεωμετρία

7 Καμπυλότητα επιφανειών
7.1 Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή .
7.2 Οι απεικονίσεις Gauss καιWeingarten
7.3 Κάθετη και γεωδαισιακή καμπυλότητα
7.4 Παράλληλη μεταφορά και συναλλοίωτη παράγωγος

8 Καμπυλότητα Gauss, μέση καμπυλότητα, κύριες καμπυλότητες
8.1 Καμπυλότητα Gauss και μέση καμπυλότητα
8.2 Κύριες καμπυλότητες επιφάνειας
8.3 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss
8.4 Ισόπεδες επιφάνειες
8.5 Επιφάνειες σταθερής μέσης καμπυλότητας
8.6 Καμπυλότητα Gauss συμπαγώνεπιφανειών

9 Γεωδαισιακές
9.1 Ορισμός και βασικές ιδιότητες
9.2 Γεωδαισιακές εξισώσεις
9.3 Γεωδαισιακές επιφανειών εκ περιστροφής
9.4 Οι γεωδαισιακές ως συντομότεροι δρόμοι
9.5 Γεωδαισιακές συντεταγμένες

10 Theorema Egregium του Gauss
10.1 Οι εξισώσεις Gauss και Codazzi-Mainardi
10.2 Το έξοχο θεώρημα του Gauss
10.3 Επιφάνειες σταθερής καμπυλότητας Gauss
10.4 Γεωδαισιακές απεικονίσεις

11 Υπερβολική γεωμετρία
11.1 Μοντέλο του άνω ημιεπιπέδο υ
11.2 Ισομετρίες του H
11.3 Μοντέλο του δίσκου Poincare
11.4 Υπερβολικές παράλληλες
11.5 Μοντέλο των Beltrami-Klein

12 Ελαχιστικές επιφάνειες
12.1 Το πρόβλημα του Plateau
12.2 Παραδείγματα ελαχιστικών επιφανειών
12.3 Η απεικόνιση Gauss ελαχιστικής επιφάνειας
12.4 Σύμμορφη παραμέτριση ελαχιστικών επιφανειών
12.5 Ελαχιστικές επιφάνειες και ολόμορφες συναρτήσεις

13 Θεώρημα Gauss-Bonnet
13.1 Gauss-Bonnet για απλές κλειστές καμπύλες
13.2 Gauss-Bonnet για καμπυλόγραμμα πολύγωνα
13.3 Ολοκλήρωση σε συμπαγείς επιφάνειες
13.4 Gauss-Bonnet για συμπαγείς επιφάνειες
13.5 Χρωματισμός χαρτών
13.6 Ολονομία και καμπυλότητα Gauss
13.7 Ιδιάζοντα σημεία διανυσματικών πεδίων
13.8 Κρίσιμα σημεία

Π0 Χώροι με εσωτερικό γινόμενο και αυτοσυζυγείς γραμμικές απεικονίσεις
Π1 Ισομετρίες Ευκλείδειων χώρων
Π2Μετασχηματισμοί Mobius
Π3 Υποδείξεις σε επιλεγμένες ασκήσεις
Π4 Λύσεις των ασκήσεων

 

ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

  • Μετάφραση
    Πλατής Ιωάννης
  • Επιμέλεια κειμένου
    Χορταράς Αλέξανδρος
  • ISBN
    978-960-524-344-9
  • Κωδικός στον Εύδοξο
    12404849
  • Έτος Α' έκδοσης
    2011
  • Έτος τρέχουσας έκδοσης
    2011
  • Τίτλος πρωτότυπου
    "Elementary Differential Geometry", 2nd Edition, Springer-Verlag, 2010
  • Τεχνικά χαρακτηριστικά
    440 17 24 σκληρόδετο
  • Τιμή καταλόγου
    37,00